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 S221  Teorema de Bernoulli. Aplicación.

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Fontanería
S22 Rama Cálculo de la red.
S221 Rama Teorema de Bernoulli. Aplicación.
S222 Rama Cálculo de pérdidas de carga.
S223 Rama Cálculo de redes.
S224 Rama Tablas.
S225 Rama Anexo.

EXPOSICIÓN:

En la presente ficha se desarrollan los siguientes apartados:

  1. Teorema de Bernoulli. 

  2. Ejemplos de aplicación del teorema.

  3. Aplicación en la práctica del teorema de Bernoulli y de conceptos de resistencias. 

 


1       TEOREMA DE BERNOULLI.

  -  Enunciado:

En el seno de un líquido perfecto en movimiento ocurre para cualquiera de sus partículas que la altura piezométrica más la altura cinética más la altura geométrica - y que se denomina Carga Total (Ht) - es constante. (fig. 1)

                     


            
FIG.1

2       EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BERNOULLI.

2.1    Velocidad y caudal de salida de un líquido por un orificio.

  Sea un gran recipiente de paredes muy delgadas. (fig. 2)

FIG.2

Tomemos el plano de referencia pasando por el centro del orificio de salida.

En el punto 1, suficientemente alejado para que se le pueda considerar en reposo, podemos escribir:

  Ht = 0 + h + 0

El punto 2 - por la delgadez de las paredes del depósito - carece de altura piezométrica; luego

                                                                                    

 Igualando ambas expresiones

                                                                        

que es la velocidad de salida de un líquido en un depósito de paredes delgadas.

El caudal de salida será:

                                                                  Q = S.v =  S x

2.2    Coeficiente de contracción de una vena líquida.

Si en el orificio anterior aplicamos un corto conducto horizontal se producirán contra sus paredes presiones, o, lo que es lo mismo, altura piezométrica, por lo que, según el T. de Bernoulli, la altura cinética tendrá que disminuir:

                                                                    

  Como    v =          v´=  j ,   siendo       j < 1

 La aplicación de un conducto al orificio representa lo mismo que considerar el grueso de las paredes del depósito (fig. 3).

 FIG. 3

A j  se le denomina coeficiente de contracción de la vena a la salida de un depósito y depende fundamentalmente del grueso de las paredes.  En saneamiento vimos que en un lavabo normal se tomaba un valor de j » 0,6.

2.3    Cálculo de alturas piezométricas y cinéticas de una vena líquida.

Sea la fig. 6 que representa un conducto conectado a un depósito. Calculemos las hp y hc de los puntos A, B y C, prescindiendo de los efectos del rozamiento.

  Sección en A =  9 cm2

   Sección en B = 27 cm2 

   Sección en C = 6,1 cm2  

  FIG.4

Calculemos primero el caudal que sale por C:

Considerando el punto D en reposo y el punto C sin altura piezométrica e igualando las alturas totales de ambos puntos podemos escribir:

                                                                                

  de dónde V = 667 cm/seg, con lo que:

                                                              Q = 6.1 x 667 =  4068.7 cm3/seg.

Teniendo en cuenta la constancia del caudal hallaremos también las velocidades en los puntos A y B y obtendremos así las hc de todos los puntos.  Las alturas piezométricas se obtendrán por diferencias:

                                      { hp =  56,8 cm          

            PUNTO A           { hc = 104,2 " 

                                     { hg =   89,0 "

                                      Ht =  250 cm                           

                                    { hp = 174,6 cm         

            PUNTO B          { hc =  11,4 " 

                                    { hg =  64,0 "

                                      Ht = 250 cm

                                   { hp =   0   cm

            PUNTO C        { hc =  227   " 

                                  { hg =   23   "

                                     Ht =  250 cm

Representando gráficamente la solución tendremos (fig. 5)


 
FIG.5

A la línea P Q C  se la denomina línea piezométrica.

3       APLICACIÓN EN LA PRÁCTICA DEL TEOREMA DE BERNOULLI Y DEL CONCEPTOS DE RESISTENCIAS.

Sea el tramo de instalación representado en la fig. 6

 

R = pérdida de rozamiento en el tramo 0-1      

R= pérdida de rozamiento

      en el tramo 0-1.

  DR= pérdida puntual      

 

  FIG.6

 Debido tanto al rozamiento continuo como a la pérdida puntual.

                                        

En los problemas de fontanería salvo grandes velocidades - que no se dan en la fontanería edificatoria - los términos V2 /2g son irrelevantes frente a Z y a  p / ,  por lo que, suponiendo la existencia de más de un tramo y resistencia, podemos escribir en la práctica:

                               

  Y en el caso del agua  (  = 1)

                              Z0 +  p0 =  Z1 + p1 + (R +  R)     [1]

Fórmula que podemos ya aplicar, por ejemplo, a problemas concretos de suministro.

Llegado a este punto es fundamental hacer notar lo siguiente:

Si bien a la salida de los grifos no hay altura piezométrica al no existir conducto - tal como vimos en el punto 2 - la presión correspondiente, p1, convertida súbitamente en energía nos da el parámetro de adecuación o confort del correspon­diente aparato sanitario.  Por ello veremos cómo, una vez establecidos los correspondientes caudales, los cálculos de fontanería suelen basarse en la exigencia de un mínimo de altura piezométrica remanente - o su equivalente en presión - en el grifo más desfavorable.

3.1.  Resistencias.

Los conductos oponen resistencias al fluido circulante debido al rozamiento.  En ocasiones se originan turbulencias con rozamientos adicionales entre sus propias moléculas.  Otras veces estos rozamientos y turbulencias se acentúan con motivo de un obstáculo...

A todas estas circunstancias se las denomina genéricamente resistencias; unas afectan a la altura piezométrica y otras a la cinética; unas tienen carácter uniforme y otras son puntuales, pero todas ellas, que tienen su origen en el movimiento del fluido, traen como resultado una pérdida de la altura total inicial Ht, proporcional a la velocidad del mismo.

Analicemos el comportamiento de las presiones de la vena líquida en los casos más representativos.

3.2.  Pérdida de carga en sección constante.

Sea un conducto unido a la base de un depósito elevado (fig. 7).

Por la permanencia del caudal circulante, a sección constante del conducto la velocidad del líquido es constante y, por tanto, también lo será la resistencia al movimiento de la vena.

Lo anterior se traduce en una pérdida paulatina y uniforme de la altura piezométrica, que concluye bruscamente en la boca del grifo.

FIG.7  

En la figura:

-           Carga total Ht = altura geométrica (OA)

-           En punto C.-  Carga total = altura geométrica (OC) + altura piezométrica (CE) + altura cinética (EF).

             En punto D.-  Carga total = altura geométrica (OD) + altura cinética    (DM).

3.3.  Pérdida de carga por cambio de sección.

 

En el tramo BC disminuye la velocidad y, por tanto, la altura cinética; consecuentemente con el teorema, la altura piezométrica experimentará en B un crecimiento a pesar de la perdida puntual en dicho punto.  No obstante, salvo que la zona de mayor sección tenga cierta longitud, la pérdida de carga es mayor que si no hubiera ensanchamiento debido a la pérdida puntual en C.

 

FIG.8  

3.4.  Teorema de Bernoulli corregido.

3.4.1   Suministros mediante presión en la red (fig.9).

 Z0 =  altura de la red sobre el plano de referencia (=0)

  p0 =  presión de la red

  Z1 =  altura del grifo que se considere sobre el plano de referencia

  p1 =  presión pedida para el grifo.

        FIG.9                                                                                       

                        

De [1],  0 + p0 =  Z1 + p1 +   ( R +  R), o sea

p1 = p0 - Z1 -   (R +   R)                                                                      

3.4.2   Suministros mediante depósito elevado (fig.10).

Z0  =  altura de agua del depósito (en situación de agotamiento) sobre el plano de referencia.

p0 =  presión a la salida del depósito (= 0)

Z1 =  altura del grifo que se considere sobre el plano de referencia

p1 =  presión pedida para el grifo.

 FIG.10  

De [1],  Z0 + 0 = 0 + p1 +  (R +  R), ó sea

  p1 = Z0 -   (R +  R)

Como p0 en el caso A) y Z0 en el caso B) son datos de partida, los cálculos hidráulicos se concretan en cuidar que  (R +   R) no sobrepase un cierto límite para que p1 sea la adecuada.  


Actualizado 20/02/08

 ©  Contenido: Juan Carratalá Fuentes y Manuel Roca Suárez